Colour (3,14.......) noise

In?


Sej zadeva je skor zanimiva, ampak tako zelo, da bi bila sama sebi namen pa tudi ne.

Število PI je takoimenovano normalno.

Torej je do prvega n-bitnega vzorca v povprečju 2^n bitov daleč.

Po domače. Do not expect a thing! And expect everything, eventually.

Če mi lahko kdo na kratko razloži, ampak ne vidim povezave med pi (3,14) in tisto sliko tam zgoraj.

Prosim, hvala.

In so narisane glede na decimalke od pi?

Če je tako je pi eno čist random število?

> Jaz pod pojmom random razumem, da če zgeneriraš dve random števili....

A to ni računski postopek?

Heh... ena izmed "lepših" opisnih definicij je ta, da je idealno naključno število vsako tako število, katerega verjetnost pojavitve je natančno 1 proti moč množice vseh možnih števil. Iz takšnega opisa pa lahko izpelješ vrsto naključnih števil, za katero poveš, da je lastnost vsakega posamičnega števila v vrsti ta, da ga ni nikoli možno napovedati vnaprej, ne glede na to, koliko predhodnih števil v vrsti poznamo.

Potem zgodbo številskih vrst dopolniš s tem, da poveš, da obstajajo tudi vrsto nenaključnih števil. Da bo stvar zabavna, jih definiraš, kot čisto nasprotje vrste naključnih števil: vsako naslednje število v vrsti je natančno določeno z celotno vrsto števil do njega.

Do tukaj je načeloma vse razumljivo in jasno. Sedaj pa pridejo ven resnično zanimiva vprašanja.... Postavimo pred seboj en eksperiment. Recimo, da imam pred seboj črno škatlo, katere notranjega ustroja ne poznam, iz nje pa ob vsakem pritisku na gumb pride eno samo število. Vsako število, ki ga na takšen način dobim, postavim v vrsto tako, da vedno vidim vsa števila v vrsti.

Prvo vprašanje se glasi: ali lahko napovem naslednje število, ki bo prišlo ven iz škatle? Če ga ne morem napovedati, to pomeni, da s to škatlo izdelujem vrsto naključnih števil. Po drugi strani pa je čisto možno, da je v škatli samo zaključen in končen trak števil, škatla pa mi pošilja vedno ista števila v vedno istem zaporedju. Potemtakem moja vrsta, ki je samo slika tiste vrste, ki se nahaja na traku v škatli, nikakor ne more biti naključna, saj notranji mehanizem ne vsebuje nikakršnih elementov naključja. Takšnemu mehanizmu, ki ni nujno trak, temveč je lahko tudi matematičen postopek (recimo Sin[x], x=x+3*Pi/100), kljub temu pa daje navidezno naključna števila, potemtakem rečemo psevdo-naključen postopek - postopek, ki mi naredi vrstno navidezno naključnih števil.

Psevdo-naključni postopki so uporabni marsikje in na marsikater način. Ker je njihova osnovna lastost ta, da dajejo zelo dober vtis (boljši, kot je postopek, boljši je vtis) popolne naključnosti, je navadno zelo težko ugotoviti kako delujejo, ne da bi razstavili samo črno škatlo v kateri delujejo. Namig: v kriptografiji se uporablja tudi veliko psevdo-naključnih postopkov, ki pa poleg kriterija naključnosti, še dodatno otežujejo ugotavljanje konkretnega zaporedja, čeprav je postopek (vsebina črne škatle) znan. Tukaj se tako največkrat pojavijo "semena" (seed number), s katerimi se generator psevdo-naključnih števil postavi v neko začetno stanje, ki ga kasneje ni več možno enostavno ugotoviti.

Sedaj pa imamo naslednje vprašanje, ki je enako prejšnjemu, vendar pa samo malo drugače zastavljeno: ali lahko pogledam neko vrsto in za njo povem, če jo je ustvaril popolnoma naključen postopek, ali pa jo je usvaril nek navidezno (psevdo) naključen postopek? V praksi se izkaže, da obstaja nekaj načinov, da se dokaže, da neka vrsta števil izvira iz psevdo-naključnega postopka, nikakor pa se ne da dokazati nasprotnega - da neka vrsta NE izvira iz psevdo-naključnega postopka. Vse to pa samo zaradi tega, ker ne poznamo postopka, ki teče v črni škatli.

Psevdo-naključnost se tako dokazuje z različnimi statističnimi pristopi, kjer se vse pretekle in znane elemente obdeluje, pri temu pa se poskuša bodisi najti vzorec ponavljanja (1,2,3,1,2,3,1,...), bodisi najti vzorec spreminjanja (1,2,3,4,5,6,...). Če se takšen vzorec najde, potem postane številska vrsta predvidljiva, kar pomeni, da postane vsak njen element vnaprej trivialno izračunljiv. Če pa takšnega vzorca ne najdemo, potem pa ne moremo reči da je številska vrsta naključna, saj je vseh elementov neskončno, mi pa smo jih upoštevali samo končen delež.

No, tako se lahko vrnemo nazaj k decimalkam števila Pi. Za Pi poznamo računski postopek s katerim lahko v končnem času izračunamo končno mnogo decimalk. Ravno tako pa vemo tudi to, da je Pi iracionalno število(*), kar pomeni, da njegova decimalna mesta niso ciklična - nikoli se ne začnejo ponavljati. Po predhodnih definicijah naključnosti, se pred nami pojavi zanimiva težava: za zaporedje decimalnih štev v številu Pi točno vemo, da ni naključno, saj poznamo nenaključen postopek s katerim se to vrsto ustvari, po drugi strani pa nimamo niti ene metode, ki bi na tem zaporedju pokazala, da je to "samo" psevdo-naključno zaporedje. Ravno ta navidezna naključnost decimalk Pi-ja pa je bilo tisto, kar je v matematiki zaposlilo ogromno matematikov, v zadnjih letih pa še več računalnikov. Če bi odkrili kakšen nov postopek, s katerim bi lahko dokazali, da te decimalke predstavljajo psevdo-naključno zaporedje, bi to bil zelo velik matematičen preboj naprej, saj bi lahko z istim postopkom začeli preverjati druga zaporedja, za katera dejansko ne vemo, če so psevdo-naključna, ali pa ne. To pa bi lahko bila tudi podlaga za ugotavljanje popolne naklučnosti.

Največji korak k morebitnemu preboju pa se je zgodil l. 1995, ko je bila najdena formula s katero se lahko enostavno izračuna vrednost poljubne decimalke Pi-ja, ne da bi bilo potrebno izračunati tudi vse ostale decimalke, ki so pred njo. Edin hakeljc in po drugi strani tudi največje presenečenje postopka pa je to, da je postopek uporaben samo za številski osnovi 2 in 16 (binarni in šestnajstiški številski sistem). Za izračun decimalk v desetiški osnovi, pa je še vedno potrebno izračunati vse dvojiške (šestnajstiške) decimalke pred dano decimalko. Če je bilo že to dejstvo samo po sebi dovolj zanimivo, pa je še bolj zanimivo, da se je od takrat, pa do danes našlo še veliko sorodnih formul s katerimi se lahko tako izračunava poljubno decimalko drugih matematičnih konstant. Trenutno je to tako ena izmed bolj obetavnih poti, saj se bo morda preko teh formul, ki povezujejo različne sorodnice števila Pi, prišlo do nove, skupne teorije, ki se jo bi lahko uporabilo tudi pri definiranju naključnosti, morda pa tudi ne... Matematika je pač še kako zelo živa veda, kjer se še vedno dogaja marsikaj.